Matemático finalmente resolve o problema da cabra: aqui está a resposta

  • Uma mistura de valores complexos e trigonométricos identificou um problema matemático de longa aproximação.
  • O problema da cabra representa as principais maneiras pelas quais a matemática pura não corresponde exatamente ao “mundo real”.
  • O segredo é a análise complexa, dando um novo quadro de referência para o problema.

    Como você mistura o mundo irracional de pi com o mundo real de . . . cabras? Este é o espírito de um problema de matemática há muito não resolvido isso soa enganosamente simples.

    O problema: Para uma cabra poder comer grama em um círculo com uma área de exatamente meio acre, quanta corda ela precisa?

    A resposta tem sido aproximada por séculos, fornecendo alimento para o pensamento de matemáticos que gostavam de ponderar sobre um quebra-cabeças ocioso. Agora, finalmente há uma equação concreta.

    O problema da cabra é um exemplo vivo do que significa completar sua resposta. Steve Nadis em Quanta explica a distinção:

    “Para ilustrar a diferença, considere a equação x2 − 2 = 0. Pode-se derivar uma resposta numérica aproximada, x = 1,4142, mas isso não é tão preciso ou satisfatório quanto a solução exata, x = √2.”

    Ou considere o paradoxo de Zenão, o famoso experimento mental em que um sapo corta pela metade sua distância em um lago – e literalmente nunca chega ao outro lado. Como a galinha de Zeno atravessa a estrada? (Não.)

    Com alguns momentos de reflexão, o problema da cabra rapidamente se transforma em um exercício de muitos aproximações cruzadas. É por isso que todas as respostas oferecidas desde os anos 1700 também são uma aproximação.

    Na década de 1980, os matemáticos fizeram um grande progresso ao expandir duas dimensões muito hipotéticas – fácil em matemática pura, impraticável na realidade – em um espaço 3D com matemática diferente. Se isso soa contra-intuitivo, pense em quanto de cálculo é habilitado ao mudar de x para x2.

    E agora, finalmente, há uma solução exata pela primeira vez. O matemático Ingo Ullisch tomou uma sugestão dos pesquisadores anteriores que fizeram progressos no problema. Ele introduziu a análise complexa, que é como a álgebra com um complemento opcional de número imaginário.

    Ao multiplicar uma série de valores expressos como o revelador a+bi de números complexos, ele conseguiu reduzir o problema a uma expressão ainda desconcertante, mas exata. Quanta explica A pegada:

    “A solução de Ullisch não é algo simples como a raiz quadrada de 2. É um pouco mais abstrusa – a razão de duas expressões integrais de contorno, com vários termos trigonométricos jogados na mistura – e ela não pode te dizer, em um sentido prático, quanto tempo para fazer a trela da cabra. Ainda são necessárias aproximações para obter um número que seja útil para qualquer pessoa na criação de animais”.

    O que é divertido no problema da cabra, que os matemáticos admitem não ter relação com outras questões ou mesmo campos matemáticos, é que ele funciona como uma espécie de pedra de Roseta matemática. Seja qual for o seu campo, provavelmente há uma maneira de abordar o problema e modelá-lo usando sua própria modelagem e análise.

    Algo legal sobre algum equação exata é que, tecnicamente falando, ela pode ser igualada a qualquer outra equação exata e estudada para pontos em comum.


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